MATERI LENGKAP BILANGAN CACAH UNTUK OLIMPIADE MTK SD

1. Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah bilangan 0, 1, 2, 3, 4, ... dan seterusnya. Tidak termasuk bilangan negatif dan pecahan.

2. Sifat-Sifat Bilangan Cacah

• Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian

  • $a + b$ dan $a \times b$ tetap bilangan cacah.

• Tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian

  • $3 - 5 = -2$ (bukan bilangan cacah)

  • $5 \div 2 = 2.5$ (bukan bilangan cacah)

• Sifat Operasi

  • Asosiatif: $(a + b) + c = a + (b + c)$

  • Komutatif: $a + b = b + a$ dan $a \times b = b \times a$

  • Distributif: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$

---

3. Rumus-Rumus Penting Bilangan Cacah dalam Olimpiade

a. Rumus Penjumlahan dan Perkalian Bilangan Cacah

• Jumlah n bilangan cacah pertama

  $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

  Contoh: Jumlah 10 bilangan cacah pertama

  $$S_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$$

• Jumlah n bilangan cacah genap pertama

  $$S_n = n(n+1)$$

  Contoh: Jumlah 5 bilangan genap pertama (2, 4, 6, 8, 10)

  $$S_5 = 5(5+1) = 5 \times 6 = 30$$

• Jumlah n bilangan cacah ganjil pertama

  $$S_n = n^2$$

  Contoh: Jumlah 4 bilangan ganjil pertama (1, 3, 5, 7)

  $$S_4 = 4^2 = 16$$

---

b. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

• FPB dari dua bilangan

  • Faktorkan setiap bilangan

  • Ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil

  $$FPB = \text{Perkalian faktor yang sama dengan pangkat terkecil}$$

  Contoh: FPB dari 24 dan 36

  $$24 = 2^3 \times 3^1, \quad 36 = 2^2 \times 3^2$$ $$FPB = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$$

• KPK dari dua bilangan

  • Faktorkan setiap bilangan

  • Ambil semua faktor dengan pangkat terbesar

  $$KPK = \text{Perkalian faktor dengan pangkat terbesar}$$

  Contoh: KPK dari 6 dan 8

  $$6 = 2^1 \times 3^1, \quad 8 = 2^3$$ $$KPK = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$$

---

c. Pola Bilangan dan Deret

• Rumus suku ke-n dalam pola bilangan aritmetika

  $$U_n = a + (n-1) \times b$$

  Keterangan:

  • $a$ = suku pertama

  • $b$ = beda antar suku

  • $n$ = banyaknya suku

  Contoh: Tentukan suku ke-10 dari 2, 5, 8, 11, ...

  $$U_{10} = 2 + (10-1) \times 3 = 2 + 27 = 29$$

• Jumlah n suku pertama dalam deret aritmetika

  $$S_n = \frac{n}{2} \times (a + U_n)$$

  Contoh: Jumlah 5 suku pertama dari 3, 6, 9, 12, ...

  $$S_5 = \frac{5}{2} \times (3 + 15) = \frac{5}{2} \times 18 = 45$$

---

d. Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

• Bilangan Prima: Bilangan yang hanya memiliki faktor 1 dan dirinya sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, ...

• Cara menentukan apakah bilangan $n$ prima:

  • Cek apakah $n$ habis dibagi oleh bilangan prima $\leq \sqrt{n}$.

  • Jika tidak ada yang membagi habis, maka $n$ adalah prima.

  • Contoh: Apakah 29 prima?

    • $\sqrt{29} \approx 5.38$, cek dengan 2, 3, dan 5

    • Tidak ada yang membagi habis → 29 adalah prima

• Faktorisasi Prima

  • Pecah bilangan menjadi faktor-faktor prima

  • Contoh: Faktorisasi prima dari 60

    $$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$$

---

5. Rumus Kelipatan dan Sisa Pembagian

• Bilangan kelipatan $k$ antara $a$ dan $b$

  $$n = \frac{b-a}{k} + 1$$

  Contoh: Banyak bilangan kelipatan 3 antara 10 dan 50

  $$n = \frac{48 - 12}{3} + 1 = 13$$

• Sisa pembagian (modulus)
  Jika $a$ dibagi $b$ menghasilkan sisa $r$, maka:

  $$a = bq + r, \quad 0 \leq r < b$$

  Contoh: Sisa pembagian 25 oleh 4

  $$25 = 4 \times 6 + 1$$

  Sisa = 1

---

6. Bilangan Palindrom dan Persegi

• Bilangan Palindrom

  • Bilangan yang tetap sama jika dibaca dari depan atau belakang.

  • Contoh: 121, 1331, 2442

• Bilangan Persegi (Kuadrat Sempurna)

  $$U_n = n^2$$

  Contoh:

  • 1² = 1

  • 2² = 4

  • 3² = 9

  • 4² = 16

---

7. Contoh Soal Olimpiade dan Penyelesaian

1. Berapa jumlah bilangan cacah antara 1 dan 50 yang habis dibagi 4?

• Bilangan: 4, 8, 12, ..., 48

• Banyak suku:

  $$n = \frac{48 - 4}{4} + 1 = 12$$

• Jumlah total:

  $$S_n = \frac{12}{2} \times (4 + 48) = 6 \times 52 = 312$$

---

2. Bilangan cacah terbesar kurang dari 100 yang habis dibagi 7 dan 9?

• KPK dari 7 dan 9:

  $$KPK = 7 \times 9 = 63$$

• Bilangan terbesar $<100$ yang habis dibagi 63 adalah 63.

---

3. Sebuah angka terdiri dari dua digit. Jika angka tersebut dikurangi dengan jumlah digitnya sendiri, hasilnya adalah 54. Berapa angka tersebut?

• Misalkan angka tersebut $10a + b$

• Persamaan:

  $$(10a + b) - (a + b) = 54$$ $$9a = 54$$ $$a = 6$$

• Bilangan tersebut adalah 60 - 69.

Pelajari lebih lanjut di Soal Olimpiade MTK SD tentang bilangan cacah